REKENEN LEREN

Beperking.

Rekenen leren is een veelomvattende zaak, maar wij van 'De Lantaarn' vragen vooral aandacht voor het inzichtelijk kunnen rekenen 'van 0 tot 100' en voor de vaardigheden om de bewerkingen uit te voeren. Daarbij hanteren we een oude definitie, die op het volgende neer komt:

Dat we met het inzichtelijk rekenen in het gebied van 0 - 100 blijven, heeft als groot voordeel, dat het dan makkelijker is om je een voorstelling te maken van wat je aan het doen bent. Scholen die met zwakke rekenaars te maken hebben, zouden ook prioriteit moeten geven aan deze doelstelling. Wie niet vlot kan rekenen 'van 0 tot 100', heeft verderop in de stof alsmaar problemen.

En dan de rekenbewerkingen. Die vatten we op als een vaardigheid volgens vaste stappen, die je veel moet oefenen en die je aanleert op een inzichtelijke basis met kleine getallen (eerst weer t/m 100 en zo nodig hoogstens t/m 200, dat geeft mogelijkheden genoeg). Vervolgens als vaardigheid uitbreiden met grotere getallen zonder dat steeds weer geprobeerd wordt om de bewerking op een inzichtelijke manier uit te voeren.

Momenteel zijn er in de moderne rekenmethodes andere vormen van cijferend vermenigvuldigen en delen in zwang, die naar de mening van 'De Lantaarn' het zogenaamd inzichtelijk rekenen veel te ver doorvoeren. Bovendien worden er allerlei oplossingsmethodes opengelaten, die wel leuk zijn maar niet vruchtbaar. De mensheid heeft niet voor niets bijv. het cijferend vermenigvuldigen ontwikkeld, namelijk om tijdwinst te boeken als het gaat om accuraat iets uitrekenen. Als we nu 4x436 gaan oefenen met 436+436+436+436 zijn we niet handig bezig. En het wordt nog bonter bij 124x436 als: 100x436, 20x436, 4x436 en dan alles optellen. Er komt waarschijnlijk op den duur wel weer een verkorting naar nevenstaande traditionele werkwijze tot stand, maar ons lijkt dit een omweg. Let wel: 4x14 maken we wel eerst inzichtelijk met bijv. 14+14+14+14, maar we koppelen daar snel de cijfermatige bewerking aan vast. Zo ook met 10x14 en 13x14, maar dan houdt de inzichtelijke onderbouwing op. We koppelen dan alleen nog terug naar de gelegde basis zoals net beschreven, om de analogie van de werkwijze te laten zien.

Rekenopbouw en -onderzoek.

In het algemeen wordt de onderzoekskant in de basisschool steeds uitgebreider ingevuld. Zo zijn er allerlei toetsen van het leerlingvolgsysteem en toetsen die de interne begeleider gebruikt, soms nog uitgebreid met testen door een externe deskundige. Dit kost veel tijd, zowel voor het kind als voor de leerkracht. Maar het gaat er uiteindelijk om dat de leerkracht een foutenanalyse maakt om dan een aanpak te kiezen. Waar zitten dan meestal de problemen? Wij van 'De Lantaarn' zijn er een voorstander van om het rekenonderzoek sterk te vereenvoudigen om tot de kern van de problemen door te dringen.

Wat zijn belangrijke bouwstenen?

1. beheersing van de vergelijkingstekens voor gelijk en ongelijk, plus en min, delen en vermenigvuldigen
2. tellen kunnen
• de opeenvolging, met de overgang van het ene tiental naar het andere (37, 38, 39, 40, 41, ...)
• vanaf een willekeurig getal verder en terug tellen
• t/m 20 met stappen van 2 heen en terugtellen
• tellen met sprongen van 10 heen en terug (37, 47, 57, ... en 37, 27,17, 7)
3. inzicht in de getalopbouw van tientallen en eenheden (37 is 30 en 7)
4. inzicht in de structuur van de getallenrij (waarbij in de buurt ligt 37, tussen welke tientallen en waar het dichtst bij)
5. getalsplitsingen tot 10 beheersen
6. vaardigheden van optellen en aftrekken tot 20
7. optellen en aftrekken met tientallen tot 100
8. hoofdrekenen
9. schattend rekenen

We lichten dit toe.

Leerlingen in groep 3.
Zij lopen vast doordat ze moeite hebben met hoeveelheden vergelijken en het toepassen van de vergelijkingstekens:

en verder:

Dat ze de zogenaamde 'stipsommen' niet snappen, is een signaal van dit probleem.
Bij het vergelijken van concrete hoeveelheden gaat het allereerst om het begrip evenveel, daarna om meer/minder en het gelijk maken van de hoeveelheden. Wij van 'De Lantaarn' zijn voorstander van het gebruik van de wip of de balans als beeld voor het vergelijken en aanvullen of verminderen. We bespreken verderop ook het wipprogramma.

Veel leerkrachten zullen, evenals wij van 'De Lantaarn', wel geleerd hebben dat een beeld als middel bij het leren rekenen breed toepasbaar moet zijn. Dus niet afhankelijk van het soort som. Een berucht voorbeeld is: 65+27. 't Lijkt wel handig om 60+20 en dan 5+7 te doen, maar bij 65-27 wordt een analoge werkwijze voor sommige kinderen gecompliceerd: 60-20 en dan 5-7; wat nu?????

De wip is een breed toepasbaar middel. Een structuur, die onafhankelijk is van het type som. Hiermee wordt bijv. ook duidelijk dat x + 2 = y omgezet kan worden in x = y - 2:

x + 2 = y......aan allebei de kanten 2 eraf......x = y - 2

En: dat 4 kg ook 8 pond is, kan voor kinderen duidelijk gemaakt worden door 'de wip' van: 1 kg = 2 pond en dan vervolgens aan elke kant 4x. Op het niveau van groep 3 worden de moeilijke stipsommen meteen duidelijk. Na enkele leerstappen in het wipprogramma komen de kinderen tot de volgende verkorting:

3 + . = 5
'de wip' staat niet goed, er moeten er 2 bij
of
3 = 5 - .
'de wip' staat niet goed, er moeten er 2 af

Naast de balans of wip, is de getallenlijn een belangrijke structuur (zie verder bij het onderwerp 'getallenlijn').

Verder is het bij leerlingen in groep 3 de vraag hoe het getalbegrip zich heeft ontwikkeld. Is het kind niet verder gekomen dan door één voor één tellen het aantal bepalen met vervolgens het getal erbij?

Of heeft het aantal al een bepaalde structuur, bijv. zeven is vijf en nog twee. Hoewel een rekenrek met steeds 5 rode en 5 witte kralen wel wat houvast biedt, zien we meer in de kralenketting. Eerst met 20 kralen en later met 100. Een prachtige voorloper van de lege getallenlijn.

Leerlingen in groep 4.
Zij blijken nogal eens het voorgaande niet onder de knie te hebben en/of onvoldoende vaardigheid te hebben ontwikkeld in het snel rekenen t/m 20 met de beruchte tientalpasseringen. We werken dit aspect verderop uit, maar op deze plaats merken we op dat het voor 'De Lantaarn' vraagtekens oproept als men in het begin beslist niet verder wil gaan dan '10'. Daardoor wordt het 'passeren van het tiental' zoiets bijzonders. Natuurlijk moet in het begin

met kleine aantallen gewerkt worden, maar vanaf 4 zijn de concrete hoeveelheden toch al moeilijk om ineens te overzien. Door bijv. t/m 12 te gaan, wordt het niet echt veel moeilijker dan t/m 10.

Verder begint de getallenlijn een steeds grotere rol te spelen als een oplossingsstructuur. Let wel: de getallenlijn, niet een honderdveld (waar de rijen van 10 onder elkaar staan). Het is dan nodig, dat de kinderen goed t/m 100 kunnen tellen. D.w.z. ze moeten de opeenvolging van de getallen kennen en ook vanaf een willekeurig getal verder en terug kunnen tellen. Eén voor één en met sprongen van 10. (Bijv. ik noem 52 en vraag om terug te tellen.)

Hieronder ziet u welke getallen een rol kunnen spelen bij de som 52-27. Eerst bij het honderdveld en dan bij de getallenlijn:

Het zal duidelijk zijn, dat met de getallenlijn beter zichtbaar is welke stappen en getallen een rol spelen. Bij het onderdeel getallenlijn gaan we hierop nader in. Op deze plaats willen we nog een voorbeeld laten zien van een dubbele getallenlijn:

Alle eerder genoemde bouwstenen komen nu aan de orde.

Leerlingen in groep 5 en hoger.
Bij deze kinderen treffen we vaak een gebrekkig inzicht aan bij het getalbegrip en de tafels, en vaardigheidsproblemen in het gebied van 0-100.

Ze moeten de telrij tot 100 goed kennen. D.w.z. de opeenvolging van de getallen en vanaf een willekeurig getal verder en terug kunnen tellen. Ook het heen en terug kunnen tellen met sprongen van 10 is belangrijk. Inzicht in de structuur van de getallenrij is onontbeerlijk om de plaats van een getal in de getallenreeks tot 100 ongeveer te kunnen bepalen. (Waarbij ligt 56 dicht in de buurt, tussen welke tientallen ligt het en welke tiental ligt dichter bij?)

De vaardigheden waarom het gaat, betreffen de reeds genoemde tientalpasseringen en de tafels. Als kinderen in groep 6 of verder vastlopen, weten we uit ervaring bijna zeker dat het bij hen ook schort aan het zojuist genoemde. Dit (ogenschijnlijk) eenvoudige niveau moet vooral onderzocht worden. Als dat in orde is, kan er nog wel sprake zijn van veel rekenfouten, maar dat is dan meer een rekenzwakte. Geen rekenprobleem; de leerjaar gebonden toetsen kunnen dan aangeven waaraan verder gewerkt moet worden om aan te sluiten waar het kind gebleven is.
Bij kinderen vanaf groep 4 komt er vaak nog bij, dat ze afgeleerd hebben om op een ontspannen, wendbare en creatieve manier naar een rekenopgave te kijken. Dat is een eerste vereiste om tot oplossingen te komen.

We zijn deze pagina begonnen met de kop 'Beperking'. Toen ging het om het leerstofgebied waarvoor we vooral aandacht wilden vragen. Nu stellen we weer een beperking aan de orde en wel met betrekking tot het hanteren van de onafhankelijke toetsen (meestal van het CITO). Wij van 'De Lantaarn' vinden dat onafhankelijke leerjaartoetsen t/m groep 5 overbodig zijn als de leerkracht goed met de methode werkt. De basis daarvoor is hoeveelheden vergelijking, met aanvullen of verminderen. Daarmee hangt samen het kunnen verdelen van hoeveelheden, wat in somvorm getalsplitsing genoemd wordt (bijv. 'acht is zes en twee'). Vervolgens wordt de getallenlijn hieraan gekoppeld om ook met grotere hoeveelheden vergelijkingen te kunnen uivoeren. Bij een goed opgebouwde en ook goed gevolgde methode is dit rekenproces bij de kinderen nauwkeurig te volgen en eventueel bij problemen nader te onderzoeken.

Dan zijn er de vaardigheden om uit het hoofd te rekenen, eerst t/m 12 en dan t/m 20, gevolgd door t/m 100. Op elk niveau oefenen we zowel getalsplitsingen, optellen, aftrekken als later 'tafels'. Ja, u leest het goed: we oefenen naast 6+3=9, later ook 3x3=9. En naast 9+9=18 later ook 2x9=18. Hierbij moet getraind worden op de reproductie-snelheid en dat gaat niet vanzelf. De leerkracht moet dat organiseren. Dat gebeurt hier en daar veel te weinig. Vroeger was er het opdreunen en nu is er misschien een computerprogramma of een andere speelse manier: het moet wel gebeuren.

Welke ingang kiezen we nu als er nader onderzoek nodig is?

Wipprogramma.

In het voorgaande gedeelte is voldoende duidelijk geworden, wat het principe is van het beeld van de wip of de balans. Wie als leerkracht met het wipprogramma wil werken, moet dit beeld goed helder hebben. Dat geldt ook voor de functie van de vergelijkingstekens.
Het wipprogramma is bruikbaar vanaf groep 3. Er wordt vanuit gegaan dat de kinderen aantallen t/m 20 kunnen tellen en dat ze het erbij horende getalsymbool t/m 10 kennen. Ook verderop, in groep 4, kan het programma bij stagnatie goede diensten bewijzen. Wij van 'De Lantaarn' bieden hier niet een gedetailleerd programma zoals een rekenmethode. 't Is een raamwerk waarbij het eenvoudig is om met de bijgeleverde 'moederbladen' eigen leerstof te maken.

Voor de verdere uitwerking kunt u naar de uitvoerige beschrijving van het wipprogramma gaan.

Tientalpassering.

Voor onderwijsmensen is dit een bekende term. Het gaat hier om sommen van het type 8+3, waarbij het antwoord over de 10 heen komt. Ze worden als moeilijkere vormen beschouwd in de beginfase van het rekenen. Doorgaans worden ze aangeleerd met de tussenstap naar het tiental, dus als 8+2+1. Daarmee wordt het een aanvullingssom tot 10 en een splitsingssom van, in dit geval, 3=2+1. De kinderen moeten de vaardigheid van de getalsplitsingen t/m 10 onder de knie hebben, om de beschreven werkwijze vlot te kunnen toepassen. Als kinderen problemen hebben met de tientalpassering moet dus eerst uitgezocht worden hoe het zit met de getalsplitsingen.

Als we als voorbeeld nemen 8+7, dan worden er in moderne rekenmethodes diverse 'oplossingsstrategieën' benut.

• die we net hadden: 8+2+5
• ook: 8+8=16, dat is 1 teveel, het antwoord is dus 15
• of: 7+7=14, dat is 1 te weinig, het antwoord is dus 15
• misschien ook wel: 10+7 weet ik (17), dat is 2 teveel, het antwoord is dus 15.

Op zichzelf levert dit een wendbare manier van rekenen op en dat is prima. Maar de zwakke rekenaar hoort dat allemaal en probeert ook eens wat ervan. Bijv. het magische verdubbelen, zoals in dit voorbeeld 8+8. Maar dan toegepast bij 8+3. Dan helpt het je niet verder. Wij van 'De Lantaarn' zijn er voorstander van om het aanvullen tot 10 als uitgangspunt te nemen. En het kind dat andere variaties kan uitvoeren, krijgt daarvoor de ruimte.

Voor alle kinderen komt het moment, dat het antwoord direct uit het geheugen gehaald moet kunnen worden. Dat gaat niet vanzelf. 't Wordt nogal eens over het hoofd gezien, maar hierop moet geoefend worden. Misschien verwacht de school wel, dat dit thuis gebeurt. 'De Lantaarn' heeft daarvoor een oefensysteem, waar altijd succes mee behaald wordt en waarbij het organiseren ervan eenvoudig te doen valt. Bij dat oefensysteem is sprake van opdrachtkaartjes. Hieronder geven we een lijst weer van sommen in de optel- en aftrekvorm, die op die opdrachtkaartjes geschreven kunnen worden.

Tafels.

We presenteren hier niet een programma om de tafels aan te leren. Daarvoor verwijzen we naar de gangbare rekenmethodes. Wel willen we de aandacht vestigen op waar een tafel eigenlijk over gaat. Het is in feite een optel- of aftrekrrij met een aantal stappen tegelijk. Bij de tafel van 2 zijn het stappen van 2, bij die van 10 stappen van 10, enz. Bovendien worden de antwoorden tot en met een aantal van 10 stappen uit het hoofd geleerd; de tafels lopen immers van 1x tot en met 10x.

Momenteel gaat men niet verder meer dan stappen van 10. (Tot in de jaren 50 leerde men ook tafels met stappen van 12 of meer.)

Ook voor de tafels komt het moment dat de antwoorden snel uit het geheugen gehaald moeten kunnen worden. Als hulpmiddel hierbij heeft 'De Lantaarn' een tafelkaart en het genoemde oefensysteem. Van L. van Essen kregen wij een tafelkaart, waarbij met kleuren de structuur verduidelijkt is.

Kralenketting en Getallenlijn.

Hierboven lieten we al zien dat het veelgebruikte honderdveld niet op kan tegen de getallenlijn.
In het honderdveld zijn de afstanden tussen de getallen niet logisch: stappen van tien zet je door een regel omhoog of omlaag te gaan maar een stapje opzij stelt een verschil van één voor. Dat is verwarrend en sluit ook niet aan bij wat we ervaren bij grote, resp. kleine verschillen tussen aantallen. Een kind spreekt bijv. van een laat getal als het een groot getal ziet en dat drukt uit dat er veel stappen gezet moet worden voordat men bij dat getal komt. Daarvoor is de getallenlijn meer geschikt.

Op deze plaats moeten we het nu hebben over het soort getallenlijn: een getallenlijn met streepjes voor de getallen (al dan niet met de getallen erbij) of een lege getallenlijn. Op een voor-ingevulde getallenlijn blijven de kinderen tellen. Op een kale lijn moeten de kinderen zelf de streepjes en getallen zetten en de verschillen tussen de getallen aangeven met boogjes. Hieronder ziet u dit gebeuren met 52-27:

Op deze manier krijgen de kinderen inzicht in de verhoudingen en in wat er gebeurt bij optellen en aftrekken. Er blijken ook meerdere wegen mogelijk:

Een ander voordeel van de lege getallenlijn is, dat door het trekken van een eenvoudig lijntje de getallenlijn meteen bij de hand is.
Een bezwaar zou kunnen zijn, dat een lege getallenlijn geen structuur biedt, terwijl bekend is dat kinderen die zwak zijn in hun leren veel baat hebben bij een duidelijke structuur. U hebt zo juist gezien, dat er meerdere strategieën mogelijk zijn. Is dan de lege getallenlijn wel zo goed? Het antwoord komt uit onderzoek (door Klein): er is één structuur, namelijk een model dat ze voor alle sommen kunnen gebruiken. En hiervan blijken ook de zwakke rekenaars te profiteren. Mits er onderwijs gegeven wordt, waarbij kinderen op elkaar en op de leerkracht kunnen ingaan bij het verwoorden van oplossingsmethodes. Doordat de notaties van de kinderen op hun getallenlijn zichtbaar blijven, kan de leerkracht precies zien wat er fout ging. Als dan bijgestuurd wordt, is men preventief bezig. Later onderzoek naar een gerezen rekenprobleem wordt dan veel minder nodig.

Voor het werken met de lege getallenlijn heeft men een handleiding nodig. Bij het leermiddelencentrum van een onderwijsbegeleidingsdienst kan men u verder helpen. (De 'lege getallenlijn' is ook bekend onder de aanduiding: 'Proeve-leerlijn'.)

schematisch:

De getallenlijn is een model dat voorbereid kan worden door de kralenketting, eerst die van 20 en later die van 100.

afbeeldingen kralenketting van www.jegro.com

Dyscalculie.

Deze term is minder bekend dan dyslexie. De letterlijke betekenis is: 'slecht kunnen rekenen'. Als een kind niet goed kan rekenen heeft dat in de basisschool minder consequenties dan als er met lezen iets aan de hand is, omdat rekenen een veel kleinere rol speelt bij de andere vakken. Misschien dat daarom de term dyscalculie minder aandacht krijgt. Overigens vermijden wij van 'De Lantaarn' termen als dyslexie, dysorthografie en dyscalculie in de leeftijd van het basisonderwijs.

Waarmee kan rekenzwakte zoal te maken hebben?

• een kind kan over zwakke intellectuele mogelijkheden beschikken, wat zichtbaar wordt bij alle leergebieden
• er kan sprake zijn van een leeszwakte, waardoor leessommen extra moeite kosten
• er kunnen problemen zijn met de rekenmethode en soms ook met het lesgeven; dan ligt het aan het onderwijs

Als de oorzaak niet in het bovenstaande ligt, dan moeten we kijken hoe het kind zich de basisvaardigheden eigen maakt:

1. Herkent het kind de getalsymbolen? Is er een directe koppeling tussen het zien van het cijfer 5 en het daarbij behorende aantal? En ook andersom: roept het cijfer 5 ook het hoeveelheidsidee op dat erbij hoort? Hoe zit het met het begrip van de tekens, zoals +, - en =. (In onze beschrijving van het wipprogramma besteden we hieraan veel aandacht.)
2. Verder spelen geheugenproblemen nogal eens een rol. Al rekenend raken ze de informatie kwijt uit hun werkgeheugen. Wij van 'De Lantaarn' bevelen dan het gebruik van een werkblaadje aan, maar wel goed geordend. Bijv. de 'kladjes' van elke som afsluiten met een kadertje erom heen. En ook de getallenlijn is een goede hulp.
   Er moet ook op gelet worden dat het kind voldoende tijd krijgt voor het rekenwerk.
3. De basisvaardigheden van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen komen er niet in. (Kijk hiervoor bij tientalpassering en tafels.)
4. Ook de manier van werken die het kind hanteert kan een bron van verwarring zijn. Vaak beginnen ze te impulsief (als ze dat tenminste nog durven: zie ook bij 'emotionele problemen' hieronder). Ze laten soms een tussenstap al weer vallen voordat ze hem hebben uitgevoerd. Opgelet moet worden dat ze met een rekenhulpmiddel op de goede manier werken, bijv. met een rekenrek, een kralenstaaf, een abacus, enz. Hebben ze een volgende leerstap, die ze pas aangereikt hebben gekregen, wel goed gekoppeld met een vorige?
5. Vaak is de instructie niet voldoende en is verlengde instructie nodig. Anders beginnen ze zo maar aan een som, of komen in tegendeel juist niet tot werken.
6. Door de slechte of wisselende resultaten kan een kind onzeker worden. Het komt dan 'vast' te zitten als het gaat om het bedenken van oplossingsideeën. Of het durft niet te beginnen en als het al begonnen is, loopt het vast door hernieuwde twijfel. (Kijk in de onderwerpenlijst van 'De Lantaarn' verder bij sociaal-emotionele ondersteuning, waar ook de O-P-A strategie wordt genoemd.)

Pas als deze problemen bij een goede aanpak na een jaar van intensief werken hardnekkig blijken te zijn, zouden we van kenmerken van dyscalculie willen spreken.

(zo gaat u naar de 'links' van 'De Lantaarn':)
Informatie van anderen.


terug naar het begin

aantal bezoekers: